关键路径 AOE：软考系统架构设计师进度网络图怎么算

图论课上找最短路找惯了，软考进度题一上来就栽：工期不是最短那条，是最长那条。

这篇是为软考系统架构设计师准备的进度网络图 / 关键路径复习笔记。和站内 DFD 考点梳理 同一套路：先把符号和直觉立住，再用同一道自拟例题把 AOE 的事件时间、活动六时标、虚活动一次算完。

软考里它到底考什么

综合知识、案例分析里都会撞上进度题，翻来覆去就这几问：

• 关键路径是哪一条？总工期多少天？
• 某个活动最早 / 最晚什么时候开、什么时候完？
• 延误几天会不会拖总工期？能拖的余地（时差）是多少？
• 双代号网络图里虚工作该不该画、画在哪？

题干常给一张「活动—紧前—工期」表，或者直接丢一张网络图。你会画、会算，比会背定义重要得多。

先分清：AOE、AOV，以及为什么是 DAG

进度建模里有两张常被混在一起的网：

• AOE（Activity On Edge）：边是活动，边上的权是工期；顶点是事件（某批活动都做完了）。软考进度网络图、双代号网络图，本质上就是 AOE。
• AOV（Activity On Vertex）：顶点是活动，边只表示先后。适合拓扑排序、排课表，不直接用来累加工期。

两张图都必须是 DAG（有向无环图）。有环就意味着「A 等 B、B 又等 A」，工程永远开不了工，拓扑排序也会失败。算关键路径之前，脑子里先确认：这是一张无环的依赖图。

关键路径是什么：人话版

项目里很多活动可以并行。真正决定「最早什么时候能收工」的，不是你跑得最快的那条支路，而是最拖后腿的那条依赖链。

这条从开工事件到收工事件、路径权和最大的通路，就叫关键路径；路上的活动叫关键活动。

几个立刻能用的推论：

• 总工期 = 关键路径长度（不是最短路径）。
• 关键活动延误一天，总工期通常就晚一天。
• 非关键活动有缓冲（时差）；缓冲没吃完之前，总工期不动。
• 想压缩工期，得动关键路径上的活动；只砍非关键活动，总工期往往纹丝不动——有时还会冒出另一条新的关键路径。

贯穿例题：先把图画出来

下面这张活动表会贯穿全文。数字不大，方便手算；依赖里故意放了「多紧前」，方便后面讲虚活动。

画成 AOE：顶点是事件 V0…V5，边是活动。E 要等 C 和 D 都完，C 走下面、D 走上面，中间用一条工期为 0 的虚活动把两条支路并到 V4：

读图口诀：圆圈是「某个时刻已经发生的事」，箭头是「正在干活」，箭头上的数字是「干多久」。

DAG 怎么算：四步走完

算法课写法是拓扑排序 + 正推 + 逆推；卷面上你只要记住口诀：顺推取大，逆推取小，时差为零便是主线。

1. 事件最早发生时间 ve（正向）

ve(i)：事件 i 最早能发生的时刻——所有指向它的活动都做完的最早时间。

• 源点：ve(源) = 0
• 其他：ve(j) = max{ ve(i) + 工期(i→j) }（多个前驱，取大）

对本例：

• ve(V0)=0
• ve(V1)=0+2=2
• ve(V2)=2+3=5
• ve(V3)=2+4=6
• ve(V4)=max(5+2, 6+0)=max(7,6)=7
• ve(V5)=7+1=8

汇点的 ve 就是项目最短总工期：8 天。

为什么是 max 不是 min？因为事件要发生，最慢的那条紧前活动也得做完。等齐了才能往下走。

2. 事件最迟发生时间 vl（逆向）

vl(i)：事件 i 最迟必须发生的时刻——再晚，总工期就被拖住。

• 汇点：vl(汇) = ve(汇)（计划工期等于计算工期时）
• 其他：vl(i) = min{ vl(j) - 工期(i→j) }（多个后继，取小）

对本例：

• vl(V5)=8
• vl(V4)=8-1=7
• vl(V2)=7-2=5
• vl(V3)=7-0=7
• vl(V1)=min(5-3, 7-4)=min(2,3)=2
• vl(V0)=2-2=0

3. 活动的最早 / 最迟开始

边 <i,j> 表示活动，工期为 d：

e = l（时差为 0）→ 关键活动。

本例算一遍：

4. 串起关键路径

关键活动串起来：A → B → D → E，长度 2+3+2+1=8，和 ve(V5) 一致。

也可以从事件侧记：关键路径上每个事件都满足 ve = vl。本例里 V3 的 ve=6、vl=7，不相等，所以经过 C 的那条支路不是关键路径。

卷面更爱考的六时标

教材 / 真题里更常见的是直接对活动算六个数，不显式写 ve/vl。两套东西是同一件事的两种写法。

同一例子用六时标再算一遍：

• TF = 0 → 关键活动；全部关键活动串起来 → 关键路径。
• 活动 C：TF = 1，最多延误 1 天还不拖总工期；若延误 2 天，总工期被拖 2-1=1 天。
• 按活动表口径，C 的紧后是 E，FF = ES(E) - EF(C) = 7 - 6 = 1。本例 TF 与 FF 碰巧都是 1，不是定理——别把两者当成同一个数背。

若把虚活动也当成一条边来算，C 的紧后变成「虚 / 0」，FF(C)=0，那 1 天缓冲会记在虚活动的时差上。卷面给的是活动表时，按表上的紧后关系算即可，不必自己再拆一遍虚边。

铁律：ES 直接等于紧前 EF，不要加 1。
EF(A)=2 表示时刻 2 结束；B 立刻接着干，ES(B)=2。加 1 是把「时间点」误当成「自然日序号」，整张表会全错。

虚活动：只表逻辑，不占工期

双代号网络图里，虚箭线工期为 0、不消耗资源，只回答一件事：「必须等谁」。

本例若漏画 V3→V4 虚工作，E 的紧前关系就画残了，关键路径和总工期都会跟着错。选题时看到「某活动有多个紧前、且这些紧前没有自然汇到同一节点」，就要警惕虚工作。

练习题（先自己算，再对答案）

请回答：

1. 关键路径是哪条？总工期几天？
2. 活动 Q 的总时差是多少？
3. 若 Q 延误 3 天，总工期会延长几天？

考场易错清单

• 把关键路径当成最短路：工期是最长依赖链。
• 顺推取了 min、逆推取了 max：口诀反了就全盘错。
• ES = 紧前 EF 之后又加 1：软考按时间点算，不加 1。
• TF 和 FF 混用：问「影响不影响总工期」看 TF；问「影响不影响紧后最早开始」看 FF。
• 压缩非关键活动还以为总工期变了：先确认它是否仍在关键路径上；压缩后可能换线。
• 漏画 / 画反虚工作：多紧前并点是重灾区。

结语

关键路径这考点，骨架就三句话：AOE 是带权 DAG；总工期是最长路径；顺推取大、逆推取小、时差为零就是主线。 六时标、虚活动、延误问答，都是围着这三句话转。

下次再碰到进度表，先别急着套公式——把图画对，标出最长那条链，后面的数基本会自己跳出来。进度管理在卷面上是计算题，落到项目里，其实是在问：你到底知不知道，此刻真正卡住整条线的是哪一环。

参考资料

• 图 - AOE & 关键路径（pdai） — AOE / AOV 术语与四个时间参数关系
• 数据结构教材中「AOE 网与关键路径」章节 — ve/vl、e/l 的标准递推写法
• 软考进度管理中双代号网络图、总时差与自由时差的常规考法（与项目管理「六时标」同一套公式）

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